VB 6.0孤度法 【角度とラジアン】 角度を計る単位として一般によく使わりるのは度(degree)という単位で、 これは一周を３６０度として定義される。 数学的な処理では、この他にラジアン(radian,弧度)というものを使う。 これは半径１の円弧の長さで角度を表現するもので半径１の円の円周は２πだから、１周は２πradになる。 両者の関係は、定義より明かに、360度=2πrad ∴ 180度=πrad よって、度をラジアンに換算するには、π/180=0.0174532925199433 を掛ける。 逆に、 ラジアンを度に換算するには、180/π=57.29577951308232 を掛ける。 なお、πの詳しい値は 3.1415926535897932384626433832795028841971..... ちなみにこれは「産医師異国に向こう。産後厄無く産婦御社に。虫散々闇に鳴く。これには速よう行くない。」と覚えられる。 【三角関数とは】 原点(0,0)を中心とし、半径1の円を描く。この時円周上の点で、点(1,0)から反時計回りに計った角度がθの点を(x,y)とする。 この時、sin(θ)=y , cos(θ)=x , tan(θ)=y/x, cot(θ)=x/y, sec(θ)=1/x, csc(θ)=1/y と定義される。 一般に、原点(0,0)を中心とし、半径rの円を描き、この円周上の点で、点(r,0)から反時計回りに計った角度がθの点を(x,y)とすると、 sin(θ)=y/r, cos(θ)=x/r, tan(θ)=y/x, cot(θ)=x/y, sec(θ)=r/x, csc(θ)=r/y が成り立つ。 また、(x,y)が円上の点であることに注意すれば、x^2 + y^2 = r^2。 これより、sin(θ)^2 + cos(θ)^2 = 1 である。 三角関数の逆関数は、普通 arcsin(w), arccos(w), arctan(w), etc. のように書く。 これは実際には多数の解を持つ多値関数である。これは、１つの解から、次のような一般解が得られる。 u = arcsin(w) → 2nπ+u, (2n+1)π-u も解。 u = arccos(w) → 2nπ+u, 2nπ-u も解。 u = arctan(w) → nπ+u も解。 （ここで n は任意の整数） そこで通常はこれらの解の内の代表値を問題にする。代表値の取り方は次のように取る方法が一般的。 arcsin の場合、-π/2 〜 π/2 の範囲 arccos の場合、0 〜 π の範囲 arctan の場合、-π/2 〜 π/2 の範囲 コンピュータ言語では、多くの場合この代表値を asin, acos, atan という関数で求めることができる。 ところで、rとθが分かれば、x=rcos(θ), y=rsin(θ) で(x,y)を求める事ができる。 また逆に、xとy からも r とθが求められる。r はr=sqrt(x^2 + y^2)で出てくるがθの算出はやや面倒。 (x,y)も(r,θ)も１つの点を表す表現ということができる。 そこで(x,y)を直交座標による表現、(r,θ)を極座標による表現という。 r はしばしば動径と呼ばれる。 【一般の三角関数の公式】 sin(-x) = -sin(x), sin(π/2-x) = cos(x), sin(π-x) = sin(x), cos(-x) = cos(x), cos(π/2-x) = sin(x), cos(π-x) = -cos(x), sin(π/2+x) = cos(x), sin(π+x) = -sin(x), cos(π/2+x) = -sin(x), cos(π+x) = -cos(x), sin(x)^2 + cos(x)^2 = 1 加算公式 sin(x+y) = sin(x)cos(y)+cos(x)sin(y), cos(x+y) = cos(x)cos(y)-sin(x)sin(y), 積和公式 2sin(x)cos(y) = sin(x+y) + sin(x-y), 2cos(x)sin(y) = sin(x+y) - sin(x-y), 2cos(x)cos(y) = cos(x+y) + cos(x-y), 2sin(x)sin(y) = -cos(x+y) + cos(x-y), 和積公式 sin(x)+sin(y) = 2sin( (x+y)/2 ) ･ cos( (x-y)/2 ), sin(x)-sin(y) = 2cos( (x+y)/2 ) ･ sin( (x-y)/2 ), cos(x)+cos(y) = 2cos( (x+y)/2 ) ･ cos( (x-y)/2 ), cos(x)-cos(y) = -2sin( (x+y)/2 ) ･ sin( (x-y)/2 ), 倍角公式 sin(2x) = 2sin(x)cos(x), cos(2x) = cos(x)^2 - sin(x)^2 = 2cos(x)^2 - 1 = 1 - 2sin(x)^2 半角公式 sin(x/2)^2 = ( 1-cos(x) )/2, cos(x/2)^2 = ( 1+cos(x) )/2 【球面三角法】 球面において平面の直線に相当するものは大円(great circle)である。 これは球の中心を通過する平面と球との交わりであり、 ２つの異なる大円は必ず対称な位置にある２点で交わる。 ２つの大円の為す角度とは、交点における各大円を含む平面が為す角度である。 また、大円上の２点の距離とは、球の中心から２点を見たときに開いた角度である。 従って球面に出来た三角形では、角・辺の長さ共に角度の単位で表現される。 球面の三角形ＡＢＣの内角をa,b,c, 対辺をα,β,γとするとき、 次のような関係が成立する。 sin(a):sin(b):sin(c) = sin(α):sin(β):sin(γ) 正弦公式 cos(a) = cos(b)cos(c) + sin(b)sin(c)cos(α),etc. 余弦公式 cos(α) = -cos(β)cos(γ) + sin(β)sin(γ)cos(a),etc. 〃 sin(a)cos(β) = cos(b)sin(c) - sin(b)cos(c)cos(α),etc. 正弦余弦公式 |